講義逐頁導讀

一階 ODE 的七節：基本觀念、方向場、可分離、正合與積分因子、線性與 Bernoulli、正交軌跡、存在唯一。

物理定律多半寫成微分方程：電路、落體、振動；機器學習也用得到。

本課不談建模，專心解方程：有沒有解、有幾個、怎麼求、求不出來怎麼近似。

微分方程的未知數是一個函數 y(x)，方程裡含有它的導數。

依應變數與自變數的個數分成三類；自變數與應變數的中英名稱。

n 階線性 ODE 的一般式；係數 a_i(x) 不必是 x 的線性函數。

sin 與平方不是線性運算，微分是。

兩個例子判斷階數、線性、齊次；一階 ODE 與它的解。

y′ = −x/y 的幾何意義：每一點的斜率。

y′ = 3y、y(0) = 5.7 的完整解法；方向場的兩步畫法與等傾線。

畫等傾線 xy = k，再沿線畫線素、連成解曲線。

g(y)dy = f(x)dx 兩邊積分；9yy′ + 4x = 0 得橢圓族。

y′ = 1 + y² 得 tan(x + c)；y′ + 5x⁴y² = 0 的初值問題。

(x − 1)y′ = 3x² + y 分不開；y′ = g(y/x) 令 u = y/x。

u + xu′ = g(u) 變可分離；2xyy′ = y² − x² 得一族圓。

帶根號答案的初值問題；(ax+by+c)/(gx+ey+h) 的兩條解法路線。

ae − bg ≠ 0：平移 x = X + α、y = Y + β 消去常數。

配方、套 arctan 積分，最後換回 x、y。

ae − bg = 0：令 v = (ax + by)/a，直接變可分離。

Case 2 的例題；全微分 du = 0 倒過來就是一條 ODE。

M dx + N dy = du 時叫正合；u 叫位勢函數；Step 1 對 x 積分。

∂M/∂y = ∂N/∂x（混合偏導數相等）；完整例題。

隱微分驗算時 y 是 x 的函數；cosh、sinh 的例題。

乘上 F 讓方程變正合；F 不唯一。

只能試誤；從正合條件導出式 (1)。

F 只含 x 或只含 y 時的公式推導。

x^a y^b、e^(ax+by)…；Ex.13 試 F(x) 失敗。

改試 F(y) = y² 成功，代初始條件得 4.9275。

F(x)、F(y) 都失敗，令 F = x^a y^b 比較係數得 F = xy。

齊次用分離；非齊次用積分因子 e^(∫p dx) 推出解公式。

兩題線性例題；Bernoulli 令 u = y^(1−a) 變線性。

logistic 方程；一階方法總整理（可分離、R-1、R-2）。

正合、積分因子、線性、Bernoulli 的公式總表。

斜率相乘為 −1；曲線族與參數 c。老師說期中跳過，研究所也很少考。

先消去 c 得 y′ = f，再解 y′ = −1/f；平行直線的例子。

同心圓 → 過原點直線；拋物線 → 橢圓。

2.1、2.2、2.5、2.6、2.7、2.10 六節。

標準式與齊次／非齊次；疊加原理與證明。

eˣ、e^(−x) 的線性組合；非齊次與非線性時疊加不成立。

線性獨立的定義；W = y₁y₂′ − y₁′y₂ 的判別法。

令 y₂ = uy₁ 推出 v = e^(−∫p)/y₁²；x²y″ − xy′ + y = 0 的例題。

y″ − y = 0 的初值問題；猜 e^(λx) 得特徵方程，依判別式分三種。

y″ + y′ − 2y = 0 的初值問題；重根用降階法。

2y₁′ + ay₁ = 0 所以 u″ = 0、y₂ = xy₁；y″ + y′ + 0.25y = 0。

代初始條件得 (3 − 2x)e^(−0.5x)；尤拉公式的泰勒展開。

(z₁ + z₂)/2 與 (z₁ − z₂)/2i；W = ωe^(−ax) ≠ 0。

y″ + 0.4y′ + 9.04y = 0 → e^(−0.2x) sin 3x。

總表；留了一題初值問題與一題邊界值問題。

猜 x^m 得 m² + (a − 1)m + b = 0；相異實根例題。

降階法推出 y₂ = (ln x)y₁。

m = 3 重根；x^(iν) = e^(iν ln x) 推出 cos(ν ln x)。

x^0.2 [cos(4 ln x), sin(4 ln x)]；p、q 連續則初值問題有唯一解。

要證明「線性獨立 ⇔ W ≠ 0」。

W′ + pW = 0 → W = c·e^(−∫p)；相依則 W = 0。

W = 0 時聯立方程有非零解，所以相依。

y = y_h + y_p；兩個非齊次解的差是齊次解。

任何解都能寫成 y_h + y_p。

通解 = 齊次通解 + 特解；照右邊的形式猜 y_p，三條規則。

猜法對照表；撞到齊次解乘 x 或 x²；猜太多項會自動變 0。

y_p = 2x² − 1；e^(−1.5x) 撞到重根要乘 x²。

C = −5，代初始條件得 (1 + 1.5x − 5x²)e^(−1.5x)。

右邊有 cos、sin、x，各猜一組相加，比較四組係數。

代初始條件得答案；參數變異的公式。

答案 cos x ln|cos x| + x sin x；把 c₁、c₂ 換成 u(x)、v(x)。

自己加的條件 u′y₁ + v′y₂ = 0，用克拉瑪法則解出 u′、v′。

3.1、3.2、3.3 三節。

通解有 n 個常數；疊加只對齊次線性成立。

要 n 個初始條件；W 是 n×n 行列式。

相依 ⇔ W = 0；猜 e^(λx) 得 n 次特徵方程。

范德蒙行列式證明獨立；共軛複根成對出現。

y‴ − 2y″ + 2y′ = 0；m 重根乘 1、x、…、x^(m−1)。

對 λ 偏微分：L[xe^(λx)] 在 λ = λ₁ 時為 0。

λ²(λ − 1)³；複數重根再乘 x、x²。

y = y_h + y_p；規則同 2.7。

(λ + 1)³ 時要猜 Cx³e^(−x)，得 C = 5。

代三個初始條件；n 階參數變異公式。

W_j 是把第 j 行換成 (0, …, 0, 1)ᵀ；推導的前兩個條件。

前 n − 1 個條件自己規定，最後一個來自原方程。

u_j′ = W_j r / W。

基底 x、x²、x³；算四個行列式再分部積分。

y_p = (x⁴/6)(ln x − 11/6)。