第 1 章第 2–4 週

一階常微分方程

First-Order ODEs

微分方程在講什麼？你不知道 y 是什麼，但你知道 y 變化的規則。像有人只告訴你「每一刻的車速」，要你推出「走了多遠」。這章的五種題型，關鍵是先認出它是哪一型，因為每一型的解法完全不同。

課本小節

方向場
可分離變數
正合方程
一階線性與積分因子
Bernoulli 方程

概念 01

先學會認題型，再談解法

Identifying the Type

白話講

一階 ODE 有五種常見長相。認錯型就整題報銷，所以拿到題目第一件事不是算，是分類。

像看到一把鎖，要先看是喇叭鎖還是密碼鎖，再決定拿哪把鑰匙。

① 可分離　　y' = f(x)g(y)　　→ 變數各歸一邊

② 正合　　　M dx + N dy = 0 且 ∂M/∂y = ∂N/∂x　→ 找位能函數

③ 一階線性　y' + P(x)y = Q(x)　　→ 積分因子

④ Bernoulli　y' + P y = Q yⁿ　　→ 換元變成線性

在說什麼判斷順序：先看能不能分離（最快）→ 再看是不是線性（最常考）→ 再驗正合 → 最後才想 Bernoulli。

正合的驗證一定要做。看到 M dx + N dy = 0 別急著找位能函數，先算 ∂M/∂y 和 ∂N/∂x 是否相等。不相等就不是正合，要先乘積分因子把它變正合。

概念 02

可分離：把 x 和 y 趕到兩邊

Separable Equations

白話講

最簡單的一型：把所有含 y 的搬到左邊，所有含 x 的搬到右邊，然後兩邊各自積分。

像整理房間：衣服全放衣櫃，書全放書架，分開就好處理了。

y' = f(x)g(y)　→　dy/g(y) = f(x) dx　→　∫dy/g(y) = ∫f(x) dx + C

在說什麼把 y' 寫成 dy/dx，然後把 dx 乘過去。C 一定要加，而且加在其中一邊就好。

別漏掉「除以 0」的解。你把 g(y) 除過去的時候，如果 g(y) = 0 有解（例如 y = 0），那 y = 0 本身也是一個解，但會在除的過程中被弄不見。考題有時就考這個。

概念 03

一階線性：乘一個魔法數

Integrating Factor

白話講

這是一階裡最常考的一型。

式子 y' + Py = Q 左邊很醜，沒辦法直接積分。但如果你整條乘上一個特別的函數 μ，左邊就會神奇地變成「(μy) 的微分」——那就可以直接積回去了。

那個魔法數 μ 叫積分因子。

μ(x) = e^{∫P dx}

乘上去後：(μy)' = μQ　→　μy = ∫μQ dx + C　→　y = [∫μQ dx + C] / μ

在說什麼三步：① 算 μ　② 左邊直接寫成 (μy)'　③ 兩邊積分再除回去。不用展開，展開就錯了。

套公式前一定要先整理成標準式 y' + P(x)y = Q(x)。如果 y' 前面有係數（例如 2y' + …），要先除掉讓 y' 的係數是 1，否則 P 會算錯。這是最常見的失分。

考卷上會這樣寫 Solve the initial value problem: xy' = 2y + x³e^x, y(1) = 0. 先整理：y' − (2/x)y = x²e^x。P = −2/x → μ = e^{∫−2/x dx} = x⁻²。套公式後代初始條件求 C。

概念 04

正合方程：找一座山

Exact Equations

白話講

正合的意思是：這條方程式其實是某個函數 F(x,y) 的全微分。

想像一座山的等高線圖。M dx + N dy = 0 說的是「沿著等高線走」，而 F(x,y) = C 就是那座山。你要做的就是把山還原出來。

驗證　∂M/∂y = ∂N/∂x　（相等才是正合）

還原　F = ∫M dx + h(y)，再用 ∂F/∂y = N 解出 h(y)

在說什麼先對 M 積 x（此時「常數」是 y 的函數 h(y)），再微分 y 去比對 N，把 h(y) 逼出來。答案寫成 F(x,y) = C，不用解出 y。

不正合時可乘積分因子：只含 x 時 μ = e^{∫(M_y−N_x}/N dx)；只含 y 時 μ = e^{∫(N_x−M_y}/M dy)。

概念 05

Bernoulli：換個變數就變線性

Bernoulli Equation

白話講

y' + Py = Q y^n 看起來不是線性（因為有 y^n），但換一個變數就變線性了。

像一道題目用中文很難解，翻成英文突然就簡單了——換的是表達方式，不是題目本身。

令 v = y¹⁻ⁿ　→　v' + (1−n)P v = (1−n)Q　（變成一階線性）

在說什麼換元之後用積分因子解 v，最後記得換回 y。n = 0 或 1 時本來就是線性，不用換。

最常見的錯：解完 v 忘記換回 y。答案是 y 不是 v。寫完答案回頭看一眼題目問什麼。