第 2 章第 5–8 週

二階常微分方程

Second-Order ODEs

這是期中考的重頭戲。 二階 ODE 的解 = 齊次解 + 特解。齊次解靠「猜指數」，特解靠「待定係數」或「參數變異」。兩塊分開練，最後加起來。

課本小節

齊次常係數（三種根）
Euler–Cauchy 方程
降階法
待定係數法
參數變異法

概念 01

為什麼猜 e^(λx)

Characteristic Equation

白話講

e^(λx) 有個超好的性質：微分它，只是多乘一個 λ，形狀完全不變。

所以把 y = e^(λx) 代進微分方程，所有的微分都變成「乘 λ」，微分方程瞬間變成一個普通的二次方程式。這就是特徵方程。

y'' + ay' + by = 0　→　λ² + aλ + b = 0

在說什麼把 y''→λ²、y'→λ、y→1 代換就好。解出 λ 之後，依「根的型態」分三種寫法。

① 相異實根 λ₁ ≠ λ₂　→　y = c₁ e^{λ₁ x} + c₂ e^{λ₂ x}

② 重根 λ（двух次）　　→　y = (c₁ + c₂ x) e^λx

③ 共軛複根 α ± iβ　　→　y = e^αx(c₁ cos βx + c₂ sin βx)

在說什麼重根時要多乘一個 x（否則兩個解會一樣，湊不出兩個獨立解）。複根時用尤拉公式化成 sin/cos，答案不要留 i。

這三種型態的判斷就看判別式：Δ > 0 相異實根、Δ = 0 重根、Δ < 0 複根。跟高中解二次方程一模一樣。和電路學第 8 章的過阻尼／臨界／欠阻尼是同一件事——那裡的 α 和 ω₀ 就是這裡的根。

概念 02

Euler–Cauchy：係數帶 x 的特例

Euler–Cauchy Equation

白話講

x²y'' + axy' + by = 0 這種係數含 x 的，不能直接猜 e^(λx)。

但它有個特殊結構：x 的次方剛好配 y 的微分次數。這時改猜 y = x^m 就會成功。

x²y'' + axy' + by = 0　→　m(m−1) + am + b = 0

相異實根　y = c₁ x^m₁ + c₂ x^m₂

重根　　　y = (c₁ + c₂ ln x) x^m

在說什麼注意特徵方程是 m(m−1) + am + b，不是 m² + am + b（因為 x²·y'' 代進去會產生 m(m−1)）。重根時多乘的是 ln x 不是 x。

106 學年的課堂作業考過這一題：x²y'' + 3xy' + y = 0，y(1) = 3.6, y'(1) = 0.4。m(m−1) + 3m + 1 = m² + 2m + 1 = 0 → m = −1（重根）→ y = (c₁ + c₂ ln x)x⁻¹。複習頁的題庫裡就有這題。

概念 03

待定係數法：看右邊長什麼樣就猜什麼

Undetermined Coefficients

白話講

非齊次方程 y'' + ay' + by = f(x)，要多找一個特解 y_p。

方法很直白：右邊長什麼樣，就猜什麼樣。右邊是多項式就猜多項式，是 e^x 就猜 Ae^x，是 sin 就猜 A sin + B cos。代進去比對係數。

f(x) = 多項式 n 次　→　y_p = A_n xⁿ + … + A₀

f(x) = e^kx　　　→　y_p = A e^kx

f(x) = sin/cos(kx)　→　y_p = A cos kx + B sin kx（兩個都要猜）

在說什麼猜完代回原式，比對兩邊係數解出 A、B。最後答案 y = y_h + y_p，初始條件要代在加起來之後。

共振情形（最大陷阱）：如果你猜的 y_p 剛好是齊次解的一部分（例如右邊是 e^x，而 λ = 1 也是特徵根），要乘 x；如果是重根還要乘 x²。
不處理的話代進去會得到 0 = e^x，解不出來。先解齊次、再看猜的會不會撞到。

考卷上會這樣寫 Solve y'' + 3y' + 2y = 12x². ① λ²+3λ+2=0 → λ = −1, −2 → y_h = c₁e^−x + c₂e^−2x　② 右邊是二次多項式 → 猜 y_p = k₂x²+k₁x+k₀（沒撞到齊次解，不用乘 x）　③ 代入比對係數。這題 106 年考過。

概念 04

參數變異法：待定係數失效時的萬用解

Variation of Parameters

白話講

待定係數法只能對付「長相規矩」的右邊（多項式、指數、三角）。

如果右邊是 tan x、ln x、1/x 這種怪東西，猜不出來。這時用參數變異法——它永遠有效，只是計算比較累。

概念：把齊次解裡的常數 c₁、c₂ 換成函數 u₁(x)、u₂(x)，讓它們去配合右邊。

y_p = −y₁ ∫ (y₂ f / W) dx + y₂ ∫ (y₁ f / W) dx

W = Wronskian = y₁ y₂' − y₁' y₂

在說什麼y_1、y_2 是齊次解的兩個基底，f 是右邊（標準式下 y'' 係數必須是 1），W 是 Wronskian 行列式。代進去積分就得到特解。

套公式前務必把 y'' 的係數化成 1，f 才是正確的。這跟一階線性要先整理成標準式是同樣的道理，也是同樣常見的錯。