第 3 章
高階常微分方程
好消息：這章幾乎沒有新東西。二階怎麼做，n 階就怎麼做，只是特徵方程從二次變成 n 次，根變多而已。難的地方只在「因式分解 n 次方程式」。
- n 階齊次與特徵方程
- 重根的處理
- 高階非齊次
概念 01
規則完全照搬
白話講
n 階方程 → 特徵方程是 n 次 → 有 n 個根 → 湊出 n 個獨立解，加起來。
三條規則跟二階一字不差：相異實根直接寫 e^(λx)、重根依重數乘 x 的次方、複根寫成 e^(αx)(cos, sin)。
λ 重複 k 次 → eλx, x eλx, x² eλx, …, xk−1 eλx
在說什麼重根重複幾次，就從 x⁰ 乘到 x^(k−1)。三重根就是 (c₁ + c₂x + c₃x²)e^(λx)。
難在因式分解，不在觀念。n 次方程式先試 λ = ±1, ±2 這些簡單的根（有理根定理），找到一個就用綜合除法降次。考題設計上一定分解得出來。
考卷上會這樣寫
Solve y⁽⁵⁾ − 3y⁽⁴⁾ + 3y''' − y'' = 0.
λ⁵−3λ⁴+3λ³−λ² = λ²(λ−1)³ = 0 → λ = 0（二重）、λ = 1（三重）→ y = c₁ + c₂x + (c₃ + c₄x + c₅x²)ex。λ = 0 的重根對應的是 x⁰ 和 x¹，也就是常數項和一次項——這裡最多人漏。這題是 106 年期末第一題。
概念 02
高階非齊次
白話講
一樣是 y = y_h + y_p。待定係數法和參數變異法都可以直接用，規則不變。
唯一要小心的還是共振：猜的東西撞到齊次解時要乘 x，而且重根重幾次就要乘幾次 x。
y = yh + yp （n 個任意常數全在 yh 裡）
在說什麼初始條件有 n 個，代在 y = y_h + y_p 之後，解出 n 個常數。
106 年期末第二題：y''' − 2y'' − y' + 2y = 4x² + 4e−x。右邊有兩項，要分開猜再相加；而且 e−x 撞到齊次解（λ = −1 是根），那一項要乘 x。