拉氏轉換
這是整學期最有力的工具，也是期末的重點。 前面解 ODE 要分型態、要猜、要湊。拉氏轉換把整個問題翻譯成代數——變成國中就會的「移項、通分、查表」。而且初始條件自動包含在裡面，不用最後再代。
- 定義與常用轉換表
- 微分性質與解 ODE
- 平移定理
- 摺積
- 單位步階與脈衝
它是一台翻譯機
你要解一道用「日文」寫的難題。你不會日文，但你有一台翻譯機。
① 翻成中文（拉氏轉換）→ ② 在中文世界解（變成代數，很簡單）→ ③ 翻回日文（反轉換）
微分方程在「t 的世界」很難解，轉到「s 的世界」就變成普通的代數式。解完再轉回來。
微分變成乘 s：整個方法的關鍵
這一條是整個拉氏轉換之所以有用的原因：
在 s 的世界裡，「微分」就是「乘 s」。 微分兩次就乘 s²。這樣微分方程就沒有微分了，只剩乘法和加法。
而且初始條件自己會跑出來，不用最後再代——這是它比傳統方法方便的地方。
解 ODE 的四步驟：
① 整條式子做拉氏轉換（微分項用上面兩條）
② 把 Y(s) 整理到一邊 → Y(s) = 某個分式
③ 部分分式分解（這步最花時間）
④ 查表反轉換回 y(t)
兩個平移定理
s 軸平移：原函數乘 e^(at)，在 s 世界就是「把 s 換成 s−a」——整個圖往右移。
t 軸平移：訊號延遲 a 秒才開始，在 s 世界就是乘 e^(−as)。
記法：t 世界乘指數 = s 世界平移；t 世界平移 = s 世界乘指數。 互換。
第二平移一定要配 u(t−a)。單位步階函數 u(t−a) 的意思是「a 秒之前都是 0」。沒有它，第二平移不成立。考題若出現「分段定義的函數」，就是要你用 u(t) 把它寫成一條式子。
摺積：反轉換的救星
問題：兩個函數相乘的反轉換，不等於兩個反轉換相乘。那 F(s)·G(s) 要怎麼轉回去？
答案是摺積——一種特別的「相乘」。
直覺：把其中一個函數翻過來、滑過去，一邊滑一邊算重疊面積。像用刷子刷過一面牆，每個位置的效果是刷毛形狀跟牆面的疊加。
先試部分分式，做不出來才用摺積。摺積的積分通常比較麻煩。考題如果明說「use convolution」就一定要用。