第 2 章第 2 週

二進位與十六進位數系

Binary and Hexadecimal

這章是後面所有東西的字母表。負數怎麼存、為什麼會溢位、為什麼 int 最大是 2147483647——全部從這裡來。

課本小節

概念 01

為什麼是二進位

Why Binary

白話講

電路裡只有兩種可靠的狀態：有電壓（1）和沒電壓（0）。

為什麼不用十進位？因為你要分辨 10 種不同的電壓，噪訊稍微一干擾就認錯。只分兩種最不會出錯——這就像用「開燈／關燈」傳訊息，比用「燈的亮度」可靠得多。

十六進位只是為了讓人類看得舒服：4 個 bit 剛好寫成 1 個 hex 字元，1011 0110 寫成 0xB6 就短很多。電腦不認識 hex，那是給人看的。

1 byte = 8 bits = 2 個 hex 字元　　n bits 能表示 2ⁿ 種東西

在說什麼LC-3 是 16 位元：一個字 16 bits = 4 個 hex 字元，位址空間 2^16 = 65536 個位置。

概念 02

Two's Complement

白話講

問題：只有 0 和 1，負號要放哪？

最笨的方法是拿最高位當正負號，但這樣會有「+0 和 −0」兩個零，而且加法器要判斷正負，很麻煩。

2 的補數的聰明之處：把負數設計成「加上去剛好會進位歸零」的那個數。這樣減法就是加法，硬體只要一個加法器就夠了。

像時鐘：往回撥 3 小時，等於往前撥 9 小時（12 小時制）。9 就是 3 的「補數」。

求 −x：把每個 bit 反過來，然後 +1

n 位元的範圍：−2ⁿ⁻¹ ~ +2ⁿ⁻¹ − 1

在說什麼16 位元的範圍是 −32768 ~ +32767。負的那邊多一個，因為 0 佔了正的位置。

溢位 (overflow) 怎麼判斷：兩個同號的數相加，結果卻變成異號，就是溢位。
正 + 正 = 負 → 溢位。負 + 負 = 正 → 溢位。正 + 負永遠不會溢位（結果一定在範圍內）。這是考題最愛的判斷。