期中考帶進場的整理・工程數學（一）

⚠ 先看這個

這份整理怎麼用、剩下三週怎麼排

How to Use This Page

白話講

期中考是 11/6（週五），佔學期成績 30%（平時考 40%、期中 30%、期末 30%）。老師說題目用英文出、可以帶自己整理的資料，而且期中期末都考上課教的例題。所以這頁有兩個用途：

① 考前：照下面的進度一天一小段，把三章的觀念頁看過，老師的每一題例題都自己重算一次（下一段有總表）。② 考試當天：把公式表、判斷流程、英文句型印出來帶進去。

週次	每天 45–60 分鐘，一週 5 天	對應頁面
10/19–10/23	Ch1：每天 2–3 個觀念（m1-1 ~ m1-13，1.6 正交軌跡跳過），每個觀念做完底下的英文考題	第 1 章
10/26–10/30	Ch2：每天 2 個觀念（m2-1 ~ m2-10），重點是 m2-4、m2-8、m2-9	第 2 章
11/2–11/5	Ch3（m3-1 ~ m3-6）→ 老師例題總表遮答案重算一輪 → 本頁練習題 → 印出 PDF	第 3 章、本頁

考試範圍要跟老師確認。學校教學大綱寫的期中範圍是「課程簡介、一階、二階」；老師目前給了第 1–3 章的投影片。保險起見三章都準備，第三章規則跟第二章幾乎一樣，多花的時間不多。

帶資料進場不代表可以不練。考場上沒有時間現學——公式表是拿來「確認」的，不是拿來「學」的。題型判斷和計算一定要考前就熟。

列印版：公式表、題型判斷、考卷英文、答題句型已排成 A4 的 PDF，放在桌面「工程數學」資料夾：工數期中_帶進場整理.pdf。

⚠ 期中必考

老師上課的例題總表（期中期末都考上課教例）

Teacher's Worked Examples

白話講

老師說期中、期末都考上課教的例題。所以最有效的準備不是做新題目，而是把下面每一題自己從頭算一次，算到不看詳解也能寫出來。

每題的完整推導都在講堂對應的觀念裡（最右欄），這張表只放題目、方法和最後答案——考試時拿來對答案，也印在帶進場的 PDF 裡。1.6 正交軌跡的 Ex.17、Ex.18 期中跳過，沒有列。

第 1 章

y' = 3y,\ y(0) = 5.7

方法　可分離答案　

y = 5.7e^{3x}

詳解 m1-2

Ex.1　畫

y' = xy

的方向場

方法　等傾線答案　等傾線

xy = k

（雙曲線）詳解 m1-3

Ex.2　

9yy' + 4x = 0

方法　可分離答案　

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = c

詳解 m1-4

Ex.3　

y' = 1 + y^2

方法　可分離答案　

y = \tan(x + c)

詳解 m1-4

Ex.4　

y' + 5x^4y^2 = 0,\ y(0) = 1

方法　可分離答案　

\displaystyle y = \frac{1}{x^5 + 1}

詳解 m1-4

Ex.5　

2xyy' = y^2 - x^2

方法　R-1：

u = y/x

答案　

x^2 + y^2 = cx

詳解 m1-5

Ex.6　

\displaystyle y' = \frac{y}{x} + \frac{2x^3\cos x^2}{y},\ y(\sqrt\pi) = 0

方法　R-1：

u = y/x

答案　

y = x\sqrt{2\sin x^2}

詳解 m1-5

Ex.7　

\displaystyle y' = \left(\frac{2x + y - 1}{x - 2}\right)^2

方法　R-2 Case 1：

\alpha = 2,\ \beta = -3

答案　

\displaystyle \frac{2}{\sqrt7}\tan^{-1}\frac{2Y + 3X}{\sqrt7 X} = \ln|X| + c

，

X = x - 2,\ Y = y + 3

詳解 m1-6

Ex.8　

\displaystyle y' = \frac{2x + y - 1}{4x + 2y - 4}

方法　R-2 Case 2：

v = \frac{2x + y}{2}

答案　

\displaystyle -\frac x5 + \frac{2y}{5} - \frac{2}{25}\ln|10x + 5y - 9| = c

詳解 m1-6

Ex.9　

(x^3 + 3xy^2)dx + (3x^2y + y^3)dy = 0

方法　正合答案　

x^4 + 6x^2y^2 + y^4 = c

詳解 m1-7

Ex.10　

\sin x\cosh y\,dx - \cos x\sinh y\,dy = 0,\ y(0) = 3

方法　正合答案　

\cos x\cosh y = \cosh 3

詳解 m1-7

Ex.11　

y\,dx - x\,dy = 0

方法　積分因子

F = \frac{1}{x^2}

答案　

y = cx

詳解 m1-8

Ex.12　

2\sin y^2\,dx + xy\cos y^2\,dy = 0

方法　積分因子

F = x^3

答案　

x^4\sin y^2 = c

詳解 m1-8

Ex.13　

2xy\,dx + (4y + 3x^2)dy = 0,\ y(0.2) = -1.5

方法　積分因子

F(y) = y^2

答案　

x^2y^3 + y^4 = 4.9275

詳解 m1-8

Ex.14　

(2y^2 - 9xy)dx + (3xy - 6x^2)dy = 0

方法　積分因子

F = x^ay^b \to xy

答案　

x^2y^3 - 3x^3y^2 = c

詳解 m1-8

Ex.15　

y' - y = e^{2x}

方法　一階線性答案　

y = e^{2x} + ce^x

詳解 m1-9

y' + 2y = e^x(3\sin 2x + 2\cos 2x)

方法　一階線性答案　

y = ce^{-2x} + e^x\sin 2x

詳解 m1-9

Ex.16　

y' - Ay = -By^2

方法　Bernoulli：

u = y^{-1}

答案　

\displaystyle y = \frac{1}{B/A + ce^{-Ax}}

詳解 m1-10

第 2 章

y'' - y = 0,\ y(0) = 4,\ y'(0) = -2

方法　常係數（相異實根）答案　

y = e^x + 3e^{-x}

詳解 m2-2

x^2y'' - xy' + y = 0

，已知

y_1 = x

方法　降階法答案　

y_2 = x\ln x

詳解 m2-3

y'' + y' - 2y = 0,\ y(0) = 4,\ y'(0) = -5

方法　相異實根答案　

y = e^x + 3e^{-2x}

詳解 m2-4

y'' + y' + 0.25y = 0,\ y(0) = 3,\ y'(0) = -3.5

方法　重根答案　

y = (3 - 2x)e^{-0.5x}

詳解 m2-4

y'' + 0.4y' + 9.04y = 0,\ y(0) = 0,\ y'(0) = 3

方法　複數根答案　

y = e^{-0.2x}\sin 3x

詳解 m2-4

練習：

y'' + 2y' + 5y = 0,\ y(0) = 1,\ y'(0) = 5

方法　複數根答案　

y = e^{-x}(\cos 2x + 3\sin 2x)

詳解 m2-4

練習：

y'' + y = 0,\ y(0) = 3,\ y(\pi) = -3

方法　邊界值問題答案　

y = 3\cos x + c_2\sin x

（無限多解）詳解 m2-4

x^2y'' + 1.5xy' - 0.5y = 0

方法　Euler–Cauchy（相異）答案　

\displaystyle y = c_1\sqrt x + \frac{c_2}{x}

詳解 m2-5

x^2y'' - 5xy' + 9y = 0

方法　Euler–Cauchy（重根）答案　

y = (c_1 + c_2\ln x)x^3

詳解 m2-5

x^2y'' + 0.6xy' + 16.04y = 0

方法　Euler–Cauchy（複數）答案　

y = x^{0.2}[c_1\cos(4\ln x) + c_2\sin(4\ln x)]

詳解 m2-5

證明

W

處處為

0

或處處不為

0

方法　

W' + pW = 0

答案　

\displaystyle W = ce^{-\int p\,dx}

詳解 m2-6

y'' + 4y = 8x^2

方法　待定係數答案　

y_p = 2x^2 - 1

詳解 m2-8

y'' + 3y' + 2.25y = -10e^{-1.5x},\ y(0) = 1,\ y'(0) = 0

方法　待定係數＋修正（乘

x^2

）答案　

y = (1 + 1.5x - 5x^2)e^{-1.5x}

詳解 m2-8

y'' + 2y' + 0.75y = 2\cos x - 0.25\sin x + 0.09x

，

y(0) = 2.78,\ y'(0) = -0.43

方法　待定係數＋加法規則答案　

y = 3.1e^{-x/2} + \sin x + 0.12x - 0.32

詳解 m2-8

y'' + y = \sec x

方法　參數變異答案　

y = (c_1 + \ln|\cos x|)\cos x + (c_2 + x)\sin x

詳解 m2-9

第 3 章

y''' - 2y'' + 2y' = 0

方法　特徵根

0,\ 1 \pm i

答案　

y = c_1 + e^x(c_2\cos x + c_3\sin x)

詳解 m3-2

y^{(5)} - 3y^{(4)} + 3y''' - y'' = 0

方法　重根

\lambda^2(\lambda - 1)^3

答案　

y = c_1 + c_2x + (c_3 + c_4x + c_5x^2)e^x

詳解 m3-3

y''' + 3y'' + 3y' + y = 30e^{-x}

，

y(0) = 3,\ y'(0) = -3,\ y''(0) = -47

方法　待定係數（乘

x^3

）答案　

y = (3 - 25x^2)e^{-x} + 5x^3e^{-x}

詳解 m3-4

x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy' - 6y = x^4\ln x

方法　三階 EC＋參數變異答案　

\displaystyle y = c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \frac{x^4}{6}\left(\ln x - \frac{11}{6}\right)

詳解 m3-5

怎麼用這張表：遮住「答案」欄，看題目先說出「方法」，再動筆算，最後才對答案。方法說不出來的，回到「詳解」那個觀念重看推導。

核心工具

公式表①　Chapter 1 First-Order ODEs

Formula Sheet: Chapter 1

Type	Form	Method / Solution
Separable	$g(y)\,dy = f(x)\,dx$	$\displaystyle \int g\,dy = \int f\,dx + c$
R-1	$y' = g(y/x)$	$u = \tfrac{y}{x},\ y' = u + xu',\ \tfrac{du}{g(u)-u} = \tfrac{dx}{x}$
R-2, $ae - bg \neq 0$	$y' = f\!\left(\tfrac{ax+by+c}{gx+ey+h}\right)$	$x = X+\alpha,\ y = Y+\beta;\ \ a\alpha+b\beta+c = 0,\ g\alpha+e\beta+h = 0 \ \to\ \text{R-1}$
R-2, $ae - bg = 0$	same	$v = \tfrac{ax+by}{a},\ \tfrac{dv}{dx} = 1 + \tfrac{b}{a}\tfrac{dy}{dx} \ \to\ \text{separable}$
Exact	$M\,dx + N\,dy = 0,\ M_y = N_x$	$\displaystyle u = \int M\,dx + k(y),\ u_y = N;\ \ u(x,y) = c$
Integrating factor	$M_y \neq N_x$	$\displaystyle F(x) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N}dx}\ \ \text{or}\ \ F(y) = e^{\int \frac{N_x - M_y}{M}dy}$
Linear	$y' + p(x)\,y = r(x)$	$\displaystyle y = e^{-h}\left[\int e^{h}r\,dx + c\right],\ h = \int p\,dx$
Bernoulli	$y' + py = r\,y^{a}$	$u = y^{1-a}:\ u' + (1-a)p\,u = (1-a)r$

先除成標準式：線性、Bernoulli 的 $y'$ 係數要是 $1$ 。答案記得換回原變數（ $u \to y/x$ 、 $X \to x - \alpha$ ）。1.6 正交軌跡期中不考，沒有列。

核心工具

公式表②　Chapter 2 Second-Order Linear ODEs

Formula Sheet: Chapter 2

Type	Form	Method / Solution
Const. coeff.	$y'' + ay' + by = 0$	$\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
— distinct real	$\lambda_1 \neq \lambda_2$	$y = c_1e^{\lambda_1x} + c_2e^{\lambda_2x}$
— double root	$\lambda = -a/2$	$y = (c_1 + c_2x)\,e^{-ax/2}$
— complex	$\lambda = -\tfrac a2 \pm i\omega$	$y = e^{-ax/2}(c_1\cos\omega x + c_2\sin\omega x),\ \omega = \sqrt{b - a^2/4}$
Euler–Cauchy	$x^2y'' + axy' + by = 0$	$m^2 + (a-1)m + b = 0$
— distinct / double		$c_1x^{m_1} + c_2x^{m_2}\quad /\quad (c_1 + c_2\ln x)\,x^{m}$
— complex $\mu \pm i\nu$		$x^{\mu}\left[c_1\cos(\nu\ln x) + c_2\sin(\nu\ln x)\right]$
Reduction of order	$y_1 \text{ known}$	$\displaystyle y_2 = y_1\int \frac{e^{-\int p\,dx}}{y_1^2}\,dx$
Wronskian		$\displaystyle W = y_1y_2' - y_1'y_2;\ \ W \neq 0 \iff \text{independent};\ \ W = c\,e^{-\int p\,dx}$
Nonhomogeneous	$y'' + py' + qy = r$	$y = y_h + y_p$
Undetermined coeff.	$e^{\gamma x};\ x^n;\ \cos\omega x, \sin\omega x$	$Ce^{\gamma x};\ K_nx^n + \cdots + K_0;\ K\cos\omega x + M\sin\omega x$
— modification		$\text{trial in } y_h:\ \times x \text{ (simple root)},\ \times x^2 \text{ (double root)}$
Variation of parameters		$\displaystyle y_p = -y_1\int\frac{y_2r}{W}dx + y_2\int\frac{y_1r}{W}dx$

Euler–Cauchy 的中間係數是 $a - 1$ 。初始條件要代進 $y_h + y_p$ 。

核心工具

公式表③　Chapter 3 ＋常用積分

Formula Sheet: Chapter 3 & Integrals

Type	Form	Method / Solution
$n$ -th order const. coeff.	$y^{(n)} + \cdots + a_0y = 0$	$\lambda^n + \cdots + a_1\lambda + a_0 = 0$
— root of order $m$		$e^{\lambda x},\ xe^{\lambda x},\ \ldots,\ x^{m-1}e^{\lambda x}$
— complex $v \pm i\omega$ , order $m$		$x^k e^{vx}\cos\omega x,\ x^ke^{vx}\sin\omega x,\ \ k = 0, \ldots, m-1$
Modification (order $n$ )		$\text{trial is a root of order } k \Rightarrow \times\,x^k$
Variation of parameters		$\displaystyle y_p = \sum_k y_k\int\frac{W_k}{W}\,r\,dx,\quad W_k:\ k\text{-th column} \to (0,\ldots,0,1)^T$
$3\times3$ determinant		$a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$

常用積分 · Useful Integrals

\int\frac{f'}{f}\,dx = \ln|f| + c

\int\frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac1a\tan^{-1}\frac xa + c

\int\tan x\,dx = -\ln|\cos x| + c

\int\sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + c

\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + c

\begin{aligned}&\int x^n\ln x\,dx \\[2pt] &\quad = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + c\end{aligned}

\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + c

\begin{aligned}&\int e^{ax}\sin bx\,dx \\[2pt] &\quad = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + c\end{aligned}

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta,\quad \cosh x = \tfrac{e^x + e^{-x}}2,\quad \sinh x = \tfrac{e^x - e^{-x}}2

\begin{aligned}&e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, \\[2pt] &\cosh x = \tfrac{e^x + e^{-x}}2, \\[2pt] &\sinh x = \tfrac{e^x - e^{-x}}2\end{aligned}

考前必看

30 秒判斷題型

Which Method?

白話講

拿到題目先別急著算，先數階數，再照下面的順序一格一格問。

	一階：依序問	→ 方法
1	分得開 $x$ 和 $y$ ？	Separable
2	能寫成 $y' + p(x)\,y = r(x)$ ？	Linear 公式
3	右邊多一個 $y^a$ ？	Bernoulli： $u = y^{1-a}$
4	$M\,dx + N\,dy$ ， $M_y = N_x$ ？	Exact
5	$M_y \neq N_x$	積分因子 $F(x)$ → $F(y)$ → $x^ay^b$
6	只出現 $y/x$ ？	R-1： $u = y/x$
7	$\frac{ax+by+c}{gx+ey+h}$ ？	R-2：先算 $ae - bg$

	二階／ $n$ 階：依序問	→ 方法
1	係數是常數？	特徵方程 $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
2	$x^2y'' + axy' + by$ ？	Euler–Cauchy： $m^2 + (a-1)m + b = 0$
3	係數是別的函數，但給了 $y_1$ ？	降階法
4	右邊 $\neq 0$ ，而且是 $e^{\gamma x}$ 、多項式、 $\sin$ 、 $\cos$ ？	待定係數（撞到 $y_h$ 要乘 $x$ ）
5	右邊是 $\sec x$ 、 $\tan x$ 、 $\ln x$ 、 $\frac1x$ ？	參數變異

考前必看

考卷上的英文怎麼讀

Exam Vocabulary

白話講

題目的動詞決定你要交出什麼。看到 Solve 跟看到 Show that，要寫的東西完全不同。

英文	意思	你要交出的東西
Solve …	求通解（沒給條件）	答案要有任意常數
Solve the initial value problem (IVP)	解初值問題	求出常數，答案不能有 $c$
boundary value problem (BVP)	邊界值問題	條件在兩個不同的點，可能無解或無限多解
Find the general solution	求通解	一階 1 個常數、二階 2 個
Find a particular solution	求一個特解 $y_p$	不用加 $y_h$
Show that … is a solution / Verify	證明／驗證是解	代進去，左右相等
Test for exactness / Show that … is exact	判斷是否正合	寫出 $\partial M/\partial y$ 與 $\partial N/\partial x$
Find an integrating factor	找積分因子	$F(x)$ 、 $F(y)$ 或 $x^ay^b$
Find a basis of solutions	找基底	給 $y_1, y_2$ （線性獨立）
Show that … are linearly independent	證明線性獨立	算 Wronskian $\neq 0$
by reduction of order	用降階法	$y_2 = u\,y_1$
by the method of undetermined coefficients	用待定係數法	照表猜 $y_p$
by variation of parameters	用參數變異法	套 $W$ 的公式
Classify the equation (order, linear, homogeneous)	分類方程	階數、線性與否、齊次與否
Sketch the direction field	畫方向場	用 isoclines $f(x, y) = k$
implicit / explicit solution	隱解／顯解	$H(x, y) = c$ 也可以當答案
characteristic (auxiliary) equation	特徵方程（輔助方程）	Euler–Cauchy 叫 auxiliary
double root / complex conjugate roots	重根／共軛複根
hence / therefore / thus	因此	寫在結論前

考前必看

英文答題句型：照抄就能寫完整

Answer Templates

白話講

不用寫漂亮的英文，每一步一句短句就夠了。老師要看的是你的步驟和判斷理由，句型照抄下面的就好。

什麼時候用	句型
判斷型態	The equation is separable / linear / exact / a Bernoulli equation with $a = 2$ .
寫標準式	In standard form, $y' + \frac{2}{x}y = x^2$ , so $p = \frac2x$ and $r = x^2$ .
正合判別	Since $\frac{\partial M}{\partial y} = 6xy = \frac{\partial N}{\partial x}$ , the equation is exact.
不正合	Since $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$ , the equation is not exact.
積分因子	$\frac1N\left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right) = \frac1x$ depends only on $x$ , so $F = e^{\int dx/x} = x$ .
變數變換	Let $u = y/x$ . Then $y = ux$ and $y' = u + xu'$ .
兩邊積分	Separating variables and integrating both sides, we obtain …
特徵方程	The characteristic equation is $\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0$ , whose roots are $\lambda = -1 \pm 2i$ .
齊次通解	Hence the general solution of the homogeneous equation is $y_h = \dots$
修正規則	Since $e^{2x}$ is a solution of the homogeneous equation, we try $y_p = Cxe^{2x}$ (modification rule).
比較係數	Substituting $y_p$ into the equation and comparing coefficients, we get $C = 4$ .
初始條件	Applying the initial conditions $y(0) = 1,\ y'(0) = 0$ , we find $c_1 = 1,\ c_2 = 0$ .
Wronskian	$W(y_1, y_2) = y_1y_2' - y_1'y_2 = 2e^{-2x} \neq 0$ , so $y_1, y_2$ are linearly independent.
結論	Therefore, the solution is $y = \dots$

每一題結尾都寫一句 Therefore / Hence, …，把最後答案框起來。中間步驟寫數學式就好，不用每行都寫英文。

考前必看

最常扣分的 10 個地方

Common Mistakes

#	錯在哪	正確做法
1	線性方程沒先除成標準式	$xy' + 2y = x^3$ → $p = \frac2x,\ r = x^2$
2	R-1、R-2、Bernoulli 算完沒換回 $y$	最後一行一定是 $x, y$ 的式子
3	正合的答案只寫 $u$ ，沒寫 $= c$	$u(x, y) = c$
4	積分因子 $R$ 與 $R^*$ 的分母對調	$F(x)$ 除以 $N$ ； $F(y)$ 除以 $M$
5	Bernoulli 換完 $p, r$ 忘了乘 $(1 - a)$	$u' + (1-a)\,p\,u = (1-a)\,r$
6	重根忘記乘 $x$ （EC 忘記乘 $\ln x$ ）	常數個數要等於階數
7	複數根寫成 $\cos(3ix)$	$\omega$ 是虛部的數字，不含 $i$
8	Euler–Cauchy 用 $m^2 + am + b$	$m^2 + (a - 1)m + b$
9	待定係數撞到 $y_h$ 沒修正	先解 $y_h$ 再猜；撞到就乘 $x$ 或 $x^2$
10	初始條件只代進 $y_h$	代進 $y = y_h + y_p$

練習 01

一階線性 IVP

Practice: Linear First-Order

題目Solve the initial value problem

x\,y' + 2y = x^3,\ y(1) = 1

.先自己算，再看下面的詳解。

詳解

① 除以

x

變標準式

y' + \frac2x\,y = x^2,\qquad p = \frac2x,\quad r = x^2

\begin{aligned}&y' + \frac2x\,y = x^2, \\[2pt] &p = \frac2x, \\[2pt] &r = x^2\end{aligned}

②

h = \int p\,dx = 2\ln x

，所以

e^{h} = x^2

y = x^{-2}\left[\int x^2\cdot x^2\,dx + c\right] = x^{-2}\left[\frac{x^5}{5} + c\right] = \frac{x^3}{5} + \frac{c}{x^2}

\begin{aligned}&y = x^{-2}\left[\int x^2\cdot x^2\,dx + c\right] \\[2pt] &\quad = x^{-2}\left[\frac{x^5}{5} + c\right] \\[2pt] &\quad = \frac{x^3}{5} + \frac{c}{x^2}\end{aligned}

③ 代

y(1) = 1

\frac15 + c = 1 \;\Rightarrow\; c = \frac45

結論 $y = \frac{x^3}{5} + \frac{4}{5x^2}$

練習 02

正合方程

Practice: Exact Equation

題目Show that

(y\cos x + 2xe^y)\,dx + (\sin x + x^2e^y - 1)\,dy = 0

is exact and solve it.先自己算，再看下面的詳解。

詳解

① 判別

\frac{\partial M}{\partial y} = \cos x + 2xe^{y} = \frac{\partial N}{\partial x} \;\Rightarrow\; \text{exact}

\begin{aligned}&\frac{\partial M}{\partial y} = \cos x + 2xe^{y} = \frac{\partial N}{\partial x} \\[2pt] &\Rightarrow\; \text{exact}\end{aligned}

② Step 1

u = \int (y\cos x + 2xe^{y})\,dx + k(y) = y\sin x + x^2e^{y} + k(y)

\begin{aligned}&u = \int (y\cos x + 2xe^{y})\,dx + k(y) \\[2pt] &\quad = y\sin x + x^2e^{y} + k(y)\end{aligned}

③ Step 2

\frac{\partial u}{\partial y} = \sin x + x^2e^{y} + k'(y) = \sin x + x^2e^{y} - 1 \;\Rightarrow\; k(y) = -y

\begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial y} = \sin x + x^2e^{y} + k'(y) \\[2pt] &\quad = \sin x + x^2e^{y} - 1 \\[2pt] &\Rightarrow\; k(y) = -y\end{aligned}

結論 $y\sin x + x^2e^y - y = c$

練習 03

Bernoulli 方程

Practice: Bernoulli

題目Solve

y' - y = -e^x\,y^2

.先自己算，再看下面的詳解。

詳解

①

a = 2,\ p = -1,\ r = -e^x

；令

u = y^{-1}

u' + (1-2)(-1)\,u = (1-2)(-e^{x}) \;\Rightarrow\; u' + u = e^{x}

\begin{aligned}&u' + (1-2)(-1)\,u = (1-2)(-e^{x}) \\[2pt] &\Rightarrow\; u' + u = e^{x}\end{aligned}

② 線性公式，

h = x

u = e^{-x}\left[\int e^{x}e^{x}\,dx + c\right] = \frac{e^{x}}{2} + c\,e^{-x}

\begin{aligned}&u = e^{-x}\left[\int e^{x}e^{x}\,dx + c\right] \\[2pt] &\quad = \frac{e^{x}}{2} + c\,e^{-x}\end{aligned}

③ 換回

y = \frac1u

y = \frac{1}{\frac12e^{x} + c\,e^{-x}}

結論 $y = \frac{1}{\frac12e^x + c\,e^{-x}}$

練習 04

待定係數（共振）＋初值

Practice: Undetermined Coefficients

題目Solve

y'' + 4y = 8\cos 2x,\ y(0) = 1,\ y'(0) = 0

.先自己算，再看下面的詳解。

詳解

① 齊次：

\lambda = \pm2i

y_h = c_1\cos2x + c_2\sin2x

②

\cos 2x

在

y_h

裡（單根）→ 乘

x

y_p = x\,(K\cos2x + M\sin2x)

③ 微分兩次代入，

x

的項抵銷

y_p'' + 4y_p = -4K\sin2x + 4M\cos2x = 8\cos2x \;\Rightarrow\; K = 0,\ M = 2

\begin{aligned}&y_p'' + 4y_p = -4K\sin2x + 4M\cos2x \\[2pt] &\quad = 8\cos2x \\[2pt] &\Rightarrow\; K = 0,\ M = 2\end{aligned}

④

y = y_h + 2x\sin 2x

；代

y(0) = 1

→

c_1 = 1

⑤

y' = -2c_1\sin 2x + 2c_2\cos 2x + 2\sin 2x + 4x\cos 2x

；

y'(0) = 2c_2 = 0

→

c_2 = 0

結論 $y = \cos 2x + 2x\sin 2x$ （振幅隨

x

變大，這就是共振，圖在 m2-8）

練習 05

Euler–Cauchy（複數根）

Practice: Euler–Cauchy

題目Solve

x^2y'' + x\,y' + 4y = 0,\ y(1) = 1,\ y'(1) = 2

.先自己算，再看下面的詳解。

詳解

①

a = 1,\ b = 4

：輔助方程

m^2 + (1-1)m + 4 = m^2 + 4 = 0 \;\Rightarrow\; m = \pm 2i\quad(\mu = 0,\ \nu = 2)

\begin{aligned}&m^2 + (1-1)m + 4 = m^2 + 4 = 0 \\[2pt] &\Rightarrow\; m = \pm 2i\quad(\mu = 0,\ \nu = 2)\end{aligned}

② 通解

y = c_1\cos(2\ln x) + c_2\sin(2\ln x)

③

y(1) = c_1 = 1

（

\ln 1 = 0

）

④

y' = \frac{-2c_1\sin(2\ln x) + 2c_2\cos(2\ln x)}{x}

；

y'(1) = 2c_2 = 2

→

c_2 = 1

結論 $y = \cos(2\ln x) + \sin(2\ln x)$

練習 06

參數變異

Practice: Variation of Parameters

題目Solve

y'' + y = \tan x

by variation of parameters.先自己算，再看下面的詳解。

詳解

①

y_1 = \cos x,\ y_2 = \sin x,\ W = 1

\begin{aligned} y_p &= -\cos x\int\sin x\tan x\,dx \\ &\quad + \sin x\int\cos x\tan x\,dx \end{aligned}

② 第一個積分：

\frac{\sin^2 x}{\cos x} = \sec x - \cos x

\int\sin x\tan x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| - \sin x

③ 第二個積分

\int\cos x\tan x\,dx = \int\sin x\,dx = -\cos x

④ 代回，

\sin x\cos x

兩項抵銷

y_p = -\cos x\,\ln|\sec x + \tan x|

結論 $y = c_1\cos x + c_2\sin x - \cos x\,\ln|\sec x + \tan x|$

練習 07

三階非齊次

Practice: Third-Order

題目Find the general solution of

y''' - 2y'' - y' + 2y = 4x

.先自己算，再看下面的詳解。

詳解

① 分組因式分解

\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2 = \lambda^2(\lambda - 2) - (\lambda - 2) = (\lambda - 2)(\lambda - 1)(\lambda + 1)

\begin{aligned}&\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2 \\[2pt] &\quad = \lambda^2(\lambda - 2) - (\lambda - 2) \\[2pt] &\quad = (\lambda - 2)(\lambda - 1)(\lambda + 1)\end{aligned}

② 齊次解

y_h = c_1e^{2x} + c_2e^{x} + c_3e^{-x}

③

\lambda = 0

不是根 → 直接猜

y_p = Ax + B

；

y_p' = A,\ y_p'' = y_p''' = 0

-A + 2(Ax + B) = 4x \;\Rightarrow\; A = 2,\ B = 1

\begin{aligned}&-A + 2(Ax + B) = 4x \\[2pt] &\Rightarrow\; A = 2,\ B = 1\end{aligned}

結論 $y = c_1e^{2x} + c_2e^x + c_3e^{-x} + 2x + 1$

考前必看

進考場前最後五分鐘

Last Five Minutes

白話講

最後五分鐘不要再看新東西。只做三件事：


①	看一次「30 秒判斷題型」，把七種一階、五種二階的認法在腦中跑一遍
②	看一次「最常扣分的 10 個地方」
③	確認帶了：列印的公式表、計算紙、筆

每題先寫型態判斷那一句（The equation is linear / exact / …）。就算後面算錯，判斷對的那一步也能拿到部分分數。

這份整理怎麼用、剩下三週怎麼排

老師上課的例題總表（期中期末都考上課教例）

公式表① Chapter 1 First-Order ODEs

公式表② Chapter 2 Second-Order Linear ODEs

公式表③ Chapter 3 ＋ 常用積分

30 秒判斷題型

考卷上的英文怎麼讀

英文答題句型：照抄就能寫完整

最常扣分的 10 個地方

一階線性 IVP

正合方程

Bernoulli 方程

待定係數（共振）＋初值

Euler–Cauchy（複數根）

參數變異

三階非齊次

進考場前最後五分鐘

公式表①　Chapter 1 First-Order ODEs

公式表②　Chapter 2 Second-Order Linear ODEs

公式表③　Chapter 3 ＋常用積分