第 8 章第 14–17 週

運算放大器（黑盒子觀點）

Operational Amplifier as a Black Box

前面七章都在「拆開看裡面」，這章反過來——把運算放大器當成一個黑盒子，只記住兩條規則，就能設計出加法器、積分器、精密整流器。最後兩週（第 16、17 週）再回頭看它「不理想」的地方，那正是期末考最愛出的地方。

課本小節

8.1 General Considerations
8.2 Op-Amp-Based Circuits
8.3 Nonlinear Functions
8.4 Op-Amp Nonidealities
8.5 Design Examples

⚠ 先看這個

老師的電阻標號跟一般課本相反

Razavi’s Resistor Labelling

這是本章最容易全錯的地方，先花 30 秒記起來。

一般課本（和多數網路教學）寫反相放大器的增益是 -R₂/R₁。
但 Razavi 課本和老師的投影片剛好相反：

R₁ = 回授電阻（從輸出接回 − 腳）
R₂ = 輸入電阻（訊號源接進來那顆，或非反相組態中接地那顆）

所以老師的公式是：
反相放大器 A_v = -R₁/R₂　　非反相放大器 A_v = 1 + R₁/R₂

考卷會照老師的圖標號。解題時千萬不要套記憶中的「R2 分之 R1」，一律看電路圖上哪一顆接在回授路徑。本章以下全部採用老師的標號。

白話講

就像有人習慣把「大兒子」叫老大、有人叫「一號」。名字不一樣，人是同一個。

公式的本質永遠是：增益 = 回授電阻 ÷ 輸入電阻。記住這句話，不管老師怎麼標號你都不會錯。

萬用記法：　|A_v| = 回授路徑上的阻抗 / 輸入路徑上的阻抗

推廣到複數阻抗（老師投影片 p.16）：　V_out / V_in = − Z₁ / Z₂

怎麼念feedback resistor＝回授電阻。Z_1 是回授阻抗、Z_2 是輸入阻抗。把 Z 換成電容就變成積分器／微分器。

概念 01

理想運算放大器

The Ideal Op Amp

白話講

運算放大器 (op amp) 是一個三角形的黑盒子，有兩個輸入（+ 和 −）和一個輸出。

它做的事只有一件：看兩個輸入的差多少，然後把那個差乘上一個「大到誇張」的倍數丟到輸出。

倍數有多大？十萬倍以上。大到只要兩個輸入差 0.1 mV，輸出就撞到電源軌了。

V_out = A₀ · ( V_in1 − V_in2 )　　（V_in1 是 + 腳，V_in2 是 − 腳）

理想四條件：　A₀ = ∞　　R_in = ∞　　R_out = 0　　速度 = ∞（infinite speed）

怎麼念op amp 念 "op-amp"，全名 operational amplifier（運算放大器）。A₀＝open-loop gain（開迴路增益）。inverting input＝反相輸入（−），non-inverting input＝非反相輸入（+）。

老師投影片 p.5 就是把這四條列出來，「Infinite gain / Infinite input impedance / Zero output impedance / Infinite speed」這四句英文可以直接背，名詞題很好用。

電源軌 (supply rails)：實際的 op amp 要接 V_CC 和 V_EE（有些應用 V_EE = 0，叫單電源操作）。輸出永遠不可能超過這兩個值——這就是第 9 個概念要講的輸出擺幅限制。

考卷上會這樣寫 List the properties of an ideal op amp and explain the consequence of each in a closed-loop configuration. List＝列出。consequence＝造成的結果。四點：無限增益→虛短路成立；無限輸入阻抗→不吃輸入電流；零輸出阻抗→不被負載拖垮；無限速度→沒有頻寬與迴轉率限制。

概念 02

虛短路與虛接地

Virtual Short and Virtual Ground

白話講

這是整章唯一需要記的解題技巧，記住它你就會做全部的題目。

想像 op amp 是一個超級神經質的機器人，它的人生目標只有一個：讓 + 和 − 兩隻腳的電壓一模一樣。只要有一點點不一樣，它就會瘋狂調整輸出，直到兩邊相等。

所以只要電路有負回授，你就可以直接假設：v₊ = v₋。而且因為輸入阻抗無限大，兩隻輸入腳都不吃電流。

黃金法則 ①（虛短路 virtual short）：　V_in1 = V_in2

黃金法則 ②（輸入不吃電流）：　i_+ = i_− = 0

怎麼念virtual short＝虛短路（兩腳電壓相等但沒有實際導線）。virtual ground＝虛接地（當 + 腳接地時，− 腳的電壓也是 0，但它沒有真的接地）。

為什麼成立：V_out = A₀(V_in1 − V_in2)，若 A₀ = ∞ 而 V_out 有限，則 (V_in1 − V_in2) = V_out/A₀ → 0。前提是必須有負回授。

單位增益放大器 (unity-gain amplifier) 是最單純的例子——把輸出直接接回 − 腳。有限增益下老師給的式子是：

V_out / V_in = A₀ / ( 1 + A₀ )　→　A₀ = 100 時只有 0.990，不是 1

怎麼念unity-gain amplifier / voltage follower / buffer 三個詞指同一個東西。

沒有負回授就不能用！如果回授接到 + 腳（正回授），或根本沒有回授，op amp 會直接飽和到電源軌——這時它是比較器 (comparator)，不是放大器，虛短路完全不成立。判斷題常考。

概念 03

非反相放大器

Non-Inverting Amplifier

白話講

訊號從 + 腳進去。用虛短路解：

① − 腳的電壓 = + 腳 = V_in
② R₁（回授）和 R₂（接地）組成分壓器，把 V_out 分壓後送到 − 腳
③ 所以 V_in = V_out × R₂/(R₁+R₂) → 反解即得增益

A₀ = ∞ 時：　V_out / V_in = 1 + R₁ / R₂

A₀ 有限時（老師 p.10）：　V_out/V_in ≈ ( 1 + R₁/R₂ ) · [ 1 − (1/A₀)( 1 + R₁/R₂ ) ]

R_in = ∞　（訊號直接進 + 腳）

怎麼念non-inverting amplifier＝非反相放大器。error term＝誤差項。"the larger the closed-loop gain, the less accurate the circuit becomes"＝閉迴路增益越大，電路越不準。

兩種極端（老師 p.11）：R₂ = 0 → 迴路斷開，增益回到 A₀（開迴路）；R₂ = ∞ → 變成單位增益放大器。

考卷上會這樣寫 Determine the gain error of a non-inverting amplifier designed for a nominal gain of 10 if A₀ = 1000. gain error＝增益誤差。誤差比例 ≈ (1 + R₁/R₂)/A₀ = 10/1000 = 1。

概念 04

反相放大器

Inverting Amplifier

白話講

用虛接地三秒鐘就能解：

① − 腳的電壓 = + 腳 = 0（虛接地）
② 流過輸入電阻 R₂ 的電流 = V_in / R₂
③ 這些電流全部只能流進回授電阻 R₁（因為 op amp 不吃電流）
④ 所以 V_out = 0 − (V_in/R₂) × R₁

反相放大器。注意標號：R_1 在回授路徑、R_2 在輸入路徑（Razavi 與老師的畫法）。− 腳是虛接地：電壓是 0，但沒有真的接到地。

節點方程式：　V_out / R₁ = − V_in / R₂

A₀ = ∞ 時：　A_v = V_out / V_in = − R₁ / R₂

A₀ 有限時（老師 p.14）：　V_out/V_in ≈ −( R₁/R₂ ) · [ 1 − (1/A₀)( 1 + R₁/R₂ ) ]

R_in = R₂　（注意：不是無限大！因為虛接地就在 R₂ 後面）

怎麼念"the gain is minus R-one over R-two"。virtual ground 讓輸入阻抗只剩 R₂。

增益完全由兩顆電阻的比值決定——op amp 本身的 A₀、溫度、製程通通不影響。這就是負回授最迷人的地方。

	反相 Inverting	非反相 Non-Inverting
增益	−R₁/R₂	1 + R₁/R₂
增益可以小於 1 嗎	可以（衰減器）	不行（最小就是 1）
輸入阻抗	R₂（有限）	∞
相位	反相 180°	同相
常見用途	加法器、積分器、濾波器	生醫訊號量測（需高輸入阻抗）

概念 05

積分器與微分器

Integrator and Differentiator

白話講

把反相放大器的零件換成電容，就能做「數學運算」——這就是它叫「運算放大器」的原因。

積分器：回授放電容。電容會「累積」電荷 → 累積 = 積分。
微分器：輸入放電容。電容電流 ∝ 電壓變化率 → 變化率 = 微分。

記法：電容在哪邊，就是那個運算——電容在回授＝積分（把東西存起來），電容在輸入＝微分（只看變化）。

積分器 Integrator（R₁ 輸入、C₁ 回授）：

V_out = − (1 / (R₁ C₁)) ∫ V_in dt　　頻域：V_out/V_in = − 1 / ( R₁ C₁ s )

微分器 Differentiator（C₁ 輸入、R₁ 回授）：

V_out = − R₁ C₁ · ( dV_in / dt )　　頻域：V_out/V_in = − R₁ C₁ s

怎麼念integrator 念 /ˈɪn.tɪ.ɡreɪ.tər/＝積分器。s 是 Laplace 變數，念 "s"。RC 乘積叫 time constant（時間常數）。

方波輸入時（老師 p.18、p.22）：積分器把方波變成三角波（斜率 -V_in/(R₁ C₁)）；微分器把方波變成脈衝 (impulse)。這兩張波形圖考試很愛畫。

跟被動 RC 濾波器的關係（老師 p.19、p.23）：RC 低通濾波器是積分器的「被動近似版」——時間常數夠大時輸出接近斜坡；RC 高通濾波器則是微分器的被動近似版。差別在於 op amp 版本有虛接地，所以不會被負載影響，而且增益可以大於 1。

有限 A₀ 造成的「有損」效應（老師 p.20、p.24）：

有損積分器：　V_out/V_in = − 1 / [ (1/A₀) + ( 1 + 1/A₀ ) R₁ C₁ s ]

　→ 極點從原點移到 −1 / [ (1+A₀) R₁ C₁ ]，等效於 C 被放大 (A₀+1) 倍

有損微分器：　零點從原點移到 −( A₀ + 1 ) / ( R₁ C₁ )，等效於 R 被縮小 (A₀+1) 倍

怎麼念lossy＝有損的。pole＝極點，zero＝零點。"the pole moves from the origin"＝極點從原點移開。

這裡的「有損」是 A₀ 有限造成的，跟下一個概念裡「為了吸收偏移電壓而故意並聯電阻」是兩件不同的事，老師分別在 p.20 和 p.35 講，別搞混。

概念 06

電壓加法器

Voltage Adder

白話講

虛接地那一點就像一個水池的排水孔。你從幾根不同的水管把水倒進去，它們在池子裡自動相加，然後一起從排水孔（回授電阻）流出去。

所以只要多接幾根輸入電阻，輸出就是它們的和。這就是類比計算機的加法。

V_out = − R_F · ( V₁/R₁ + V₂/R₂ + … )

若 R₁ = R₂ = R：　V_out = − ( R_F / R ) · ( V₁ + V₂ )

怎麼念voltage adder / summing amplifier＝電壓加法器。R_F＝feedback resistor。

為什麼不互相干擾：X 點被釘在虛接地（0 V），所以 V₁ 產生的電流不會跑去影響 V₂ 那一路。虛接地提供了完美的隔離——這是加法器能成立的關鍵。

考卷上會這樣寫 Design a circuit that produces V_out = −2V₁ − 3V₂. Assume R_F = 6 kΩ. Design＝設計（答案不唯一，但要驗算）。R_F/R₁ = 2 → R₁ = 3 kΩ；R_F/R₂ = 3 → R₂ = 2 kΩ。

概念 07

非線性函數：精密整流、對數、開根號

Nonlinear Functions (8.3)

白話講

第 3 章的整流器有個大問題：小於 0.8 V 的訊號根本過不去（二極體壓降吃掉了）。要量 10 mV 的訊號怎麼辦？

解法超聰明：把二極體放進 op amp 的回授迴路裡。op amp 會自己把輸出拉高 0.8 V 來「補償」那個壓降——從外面看，二極體的壓降消失了。

更棒的是，這招可以推廣：把任何非線性元件放進迴路，你就得到它的反函數。

回授迴路裡放什麼	得到什麼電路	為什麼
二極體（串在輸出後）	精密整流器 precision rectifier	壓降被 A₀ 除掉，誤差剩 μV
雙極性電晶體（指數元件）	對數放大器 logarithmic amplifier	指數的反函數是對數
MOSFET（平方律元件）	開根號放大器 square-root amplifier	平方的反函數是開根號

對數放大器（BJT 在迴路內，老師 p.30）：

V_out = − V_T · ln( V_in / ( R₁ · I_S ) )

開根號放大器（MOSFET 在迴路內，老師 p.31）：

V_out = − √( 2 V_in / ( μ_n·C_ox (W/L) R₁ ) ) − V_TH

怎麼念logarithmic amplifier＝對數放大器。square-root amplifier＝開根號放大器。"insert a transistor in the loop"＝在迴路中插入一顆電晶體。

第 16 週就是在講這一節。核心思想一句話：回授迴路會把元件的特性「反轉」過來。

兩種精密整流器（老師 p.28、p.29）：

非反相型：V_in > 0 時輸出跟隨輸入；V_in ≤ 0 時二極體截止，輸出掉到 0。
反相型：V_in > 0 時二極體導通、V_Y 被釘在 V_D,on 附近、V_X 維持虛接地；V_in < 0 時二極體截止、V_Y 變得非常負、V_X = V_in。

精密整流器的隱藏缺點：二極體截止的那半週，op amp 處於開迴路狀態（迴路被切斷），輸出會衝到電源軌。等下半週要回來時，它得先從飽和「爬」回來，這段時間造成恢復延遲 (recovery delay)，限制了工作頻率。

概念 08

非理想之一：有限增益與直流偏移

Nonidealities I: Finite Gain and DC Offsets (8.4)

白話講

前面都假設 op amp 完美。第 17 週開始面對現實。

問題一：增益不是無限大。A₀ 只有十萬左右，所以 V_in1 和 V_in2 其實有一點點差。

問題二：直流偏移。製造時裡面兩顆電晶體不可能一模一樣（input stage mismatch），所以就算兩隻輸入腳都接地，輸出也不是 0——好像有人偷偷在輸入端串了一顆小電池（幾 mV）。

增益誤差（兩種組態都適用）：　gain error ≈ ( 1 + R₁/R₂ ) / A₀

偏移造成的輸出（老師 p.33）：　V_out = ( 1 + R₁/R₂ ) · ( V_in + V_OS )

怎麼念V_OS＝input offset voltage（輸入偏移電壓），典型 1~10 mV。input stage mismatch＝輸入級失配。

關鍵觀察：閉迴路增益設得越大，增益誤差和偏移誤差都越大。設計高增益放大器時，寧可用兩級各 30 倍，也不要一級 900 倍。

偏移的兩個惡果：

後級被推入飽和（老師 p.34）：第一級把 V_OS 放大後送進第二級，第二級再放大一次，輸出直接撞電源軌。
積分器完全失效（老師 p.35）：直流時電容開路 → 直流增益無限大 → V_OS 被持續積分 → 輸出一定飽和。

積分器的解法：在 C₁ 上並聯電阻 R₂

V_out / V_in = − ( R₂ / R₁ ) · 1 / ( R₂ C₁ s + 1 )

怎麼念"a resistor absorbs the offset"＝電阻把偏移吸收掉。代價是 "the transfer function no longer has a pole at the origin"＝轉移函數不再有原點極點（也就是不再是完美積分器）。

直流增益被限制在 -R₂/R₁，偏移就不會被積到無限大。這是實務上每一個積分器都會做的事。

概念 09

非理想之二：輸入偏壓電流

Nonidealities II: Input Bias Currents

白話講

理想 op amp 的輸入不吃電流。但如果它裡面是用 BJT 做的，基極一定要吃一點電流（I_B = I_C/β）。

這些小電流流過你的回授電阻，就會產生額外的電壓誤差。電阻越大，誤差越大。

非反相放大器（老師 p.37）：　I_B1 對輸出沒有影響，只有 I_B2 有：

V_out = − I_B2 · R₁ · ( − R₁/R₂ )… 化簡後：　V_out = I_B2 · R₁

補償電壓（老師 p.38）：　V_corr = − I_B2 · ( R₁ ∥ R₂ )

實作方法（老師 p.39）：在 + 腳串一顆 R₃ = R₁ ∥ R₂

怎麼念input bias current＝輸入偏壓電流。bias current cancellation＝偏壓電流補償。correction voltage＝補償電壓。

為什麼要用電阻而不是真的接一顆電池：I_B 正比於 1/β，而 β 會隨製程和溫度飄。用 R₁ ∥ R₂ 這顆電阻，讓兩邊的 I_B 產生一樣的壓降自動抵消，就能追蹤 β 的變化（前提是 I_B1 = I_B2）。

積分器 + 偏壓電流（老師 p.40）：V_out = −(1/C₁)∫ I_B1 dt —— I_B1 被持續積分，輸出一定會飽和。在 + 腳串電阻可以消掉 I_B 的影響，但因為還有 V_OS 和失配，輸出最後還是會飽和。這就是為什麼實務上一定要並聯那顆 R₂。

剩下的誤差：補償後 I_B 被消掉，但兩腳電流的差——輸入偏移電流input offset current I_OS = |I_B1 − I_B2|——還在。它比 I_B 小一個數量級，但無法消除。改用 CMOS 或 JFET 輸入的 op amp 可以把 I_B 降到 pA 等級。

概念 10

非理想之三：速度、迴轉率與輸出阻抗

Nonidealities III: Speed, Slew Rate, R_out

白話講

頻寬：op amp 內部有電容，增益到高頻會滾降。增益越高，能放的頻率範圍越窄——兩者乘積固定，像蹺蹺板。

迴轉率：就算頻率不高，如果你要它突然從 0 跳到 5 V，它也跳不了那麼快。內部是一個定電流源在充電容，斜率有上限。

輸出阻抗：不是真的 0，所以接上負載會再掉一點增益。

開迴路頻率響應（老師 p.42）：　V_out/(V_in1−V_in2) = A₀ / ( 1 + s/ω₁ )

增益頻寬乘積：　GBW = A₀ · f₁ = A_closed · f_3dB　（定值）

迴轉率　Slew Rate：　SR = ( dV_out / dt )_max　（單位 V/μs）

全功率頻寬（老師 p.47）：　FP = SR / [ ( V_max − V_min ) / 2 ]　（rad/s）

怎麼念gain-bandwidth product＝增益頻寬乘積。slew rate 念 /sluː reɪt/＝迴轉率。"the op amp slews"＝op amp 進入迴轉（跟不上）。settling＝安定。

怎麼分辨是頻寬不足還是迴轉率不足：頻寬不足 → 輸出仍是正弦波，只是振幅變小；迴轉率不足 → 輸出變成三角波（斜邊是固定斜率）。這是經典考題。

非零輸出阻抗的影響（老師 p.48）：

v_out/v_in = − ( R₁/R₂ ) / [ 1 + (1/A₀)(1 + R₁/R₂) + R_out(…)/… ]

怎麼念nonzero output resistance＝非零輸出電阻。"increases the gain error"＝加大增益誤差。

結論記住就好：R_out ≠ 0 會讓增益誤差變大，負載越重（電阻越小）影響越明顯。

考卷上會這樣寫 An op amp with GBW = 10 MHz is configured for a closed-loop gain of 100. Determine the −3 dB bandwidth. If SR = 1 V/μs, what is the maximum frequency for an undistorted 2 V amplitude sine wave? f_3dB = 10 MHz/100 = 100 kHz；f_max = SR/(2π V_p) = 1 V/μs / (2π × 2 V) ≈ 79.6 kHz。兩者取較小者才是實際上限。undistorted＝不失真的。

期末考最後一塊拼圖：op amp 的五大非理想（老師 8.4 節）
① 有限開迴路增益 A₀ → 增益誤差 (1+R₁/R₂)/A₀
② 直流偏移 V_OS → 輸出誤差 (1+R₁/R₂)V_OS、積分器飽和
③ 輸入偏壓／偏移電流 I_B、I_OS → 大電阻時的誤差，補償電阻 R₁∥R₂
④ 有限頻寬 GBW 與迴轉率 SR → 高頻／大訊號失真
⑤ 非零輸出阻抗 R_out → 增益誤差再加大
每一項都要能說出「它造成什麼後果」和「怎麼補償」。