第 8 章第 16–17 週

二階電路

Second-Order Circuits

一階只有一個儲能元件，答案是單純的指數。二階有兩個（C 和 L），它們會把能量丟來丟去，所以可能震盪。這章的重點是判斷「震不震、震多久」。

課本小節

8.2 找初始與最終值
8.3 無源串聯 RLC
8.4 無源並聯 RLC
8.5 步階響應

概念 01

為什麼會震盪

Why It Oscillates

白話講

想像盪鞦韆。電容存的能量像「高度」（位能），電感存的像「速度」（動能）。

電容放電 → 電感充能（高度換速度）→ 電感又推回電容（速度換高度）→ 來回震盪。

電阻就是空氣阻力：阻力小 → 盪很久才停（欠阻尼）；阻力大 → 推一下就不動了（過阻尼）。

串聯 RLC　α = R/2L　　　ω₀ = 1/√(LC)

並聯 RLC　α = 1/(2RC)　　ω₀ = 1/√(LC)

在說什麼α 是衰減率（阻力多大），ω_0 是自然頻率（不受阻力時會震多快）。串聯和並聯的 α 公式不一樣，ω_0 一樣——這是最常考錯的地方。

串聯 α = R/2L，並聯 α = 1/2RC。記法：串聯時電阻大＝阻力大（R 在分子）；並聯時電阻大反而電流不走它＝阻力小（R 在分母）。想通就不會背反。

概念 02

三種阻尼：比大小就知道

Overdamped, Critically, Underdamped

白話講

比 α 和 ω_0 誰大就知道會怎麼動：

α > ω_0 過阻尼：阻力贏了，慢慢滑回去，不震。（鞦韆在水裡盪）
α = ω_0 臨界阻尼：剛剛好，最快回到定位又不震。（電梯門的理想狀態）
α < ω_0 欠阻尼：阻力輸了，會來回震盪再慢慢停。（一般的鞦韆）

過阻尼　x = A₁ e^{s₁ t} + A₂ e^{s₂ t}　　s = −α ± √(α²−ω₀²)

臨界　　x = (A₁ + A₂ t) e^−αt

欠阻尼　x = e^−αt(A₁ cos ω_d t + A₂ sin ω_d t)　　ω_d = √(ω₀²−α²)

在說什麼先算 α 和 ω_0 比大小 → 選對應的形式 → 用兩個初始條件解 A_1, A_2。順序不能顛倒。

兩個初始條件怎麼來？一階只要一個，二階要兩個：
① x(0⁺)（用不能突變的規則）
② dx/dt(0⁺)——這個要用 i_C = C dv/dt 或 v_L = L di/dt 反推。
第二個條件是全章最容易卡住的一步。

考卷上會這樣寫 For the circuit shown, find v(t) for t > 0. Determine whether the response is overdamped, critically damped, or underdamped. ① 算 α、ω₀ → 判斷阻尼型態　② 寫出對應形式　③ 求 v(0⁺) 和 dv/dt(0⁺)　④ 解 A₁、A₂。